Liczba
Binarny Kaonwertor
Liczba - pojęcie abstrakcyjne, jeden z podstawowych obiektów matematycznych. Określenie "liczba" bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują "liczb", lecz "liczby naturalne", "liczby całkowite", itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego. Konstrukcję można też przeprowadzać od drugiej strony, to znaczy zacząć od zdefiniowania np. liczb rzeczywistych za pomocą aksjomatów, a następnie określić prostsze typy liczb jako podzbiory z tymi samymi działaniami. Wszystkie te sposoby prowadzą do równoważnych (izomorficznych) tworów.
Najprostsze rodzaje liczb jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra).
W matematyce znane każdemu ze szkoły liczby naturalne i liczby rzeczywiste zostały rozszerzone na takie abstrakcje, jak liczby zespolone, p-adyczne, kwaterniony, czy sedeniony. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od fraktali, przez elektronikę, teorię płynów, aż do fizyki kwantowej i teorii względności. Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice trójwymiarowej do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. współrzędne jednorodne). Liczby p-adyczne znalazły zastosowanie w kryptografii.
Liczby naturalne
Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków są dwie szkoły: jedni uważają że do liczb naturalnych powinno się zaliczać zero (a więc liczby naturalne to 0,1,2,3,4...). Takie podejście jest związane z najbardziej "naturalnym" zastosowaniem liczb naturalnych - zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego. Inni matematycy uznają, że liczby naturalne zaczynają się od 1. Takie nazewnictwo jest bardziej tradycyjne. Liczba 0 weszła do matematyki stosunkowo późno, przez wieki była traktowana przez ludzi z dużą nieufnością, być może więc wydaje się "mniej naturalna" od pozostałych liczb naturalnych.
Kwestia, czy zero nazwiemy liczbą naturalną, czy nie, jest czysto umowna i nie powoduje żadnych problemów, pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.
Liczby całkowite
Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można pokazać liczbę przeciwną - czyli liczbę ujemną w tej samej odległości od zera. Po ich dodaniu dostaniemy zero. Jeśli na konto wpłynie nam 100 zł, to wypłynięcie 100 zł możemy oznaczyć ujemną liczbą -100. Liczby naturalne 1,2,3,..., zero oraz liczby przeciwne do naturalnych -1,-2,-3, ... nazywamy liczbami całkowitymi. |
|
Liczby
Liczby wymierne Liczby wymierne to intuicyjnie ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej licznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną mianownikiem). Dzielenie przez zero jest operacją niewykonalną.
Liczby rzeczywiste
Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby (takie jak np. √2, czyli długość przekątnej kwadratu o boku 1), których nie da się przedstawić w postaci ułamka n/m, a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą. A więc liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak √3 czy π. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na prostej (tzw. oś liczbowa).
Liczby zespolone Liczby urojone to liczby, których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona i, dla której i 2 = - 1. Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.
Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. 2 + 3i. W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. 5 = 5 + 0i ). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie (tzw. płaszczyzna zespolona), a dodawanie i mnożenie mają ładną interpretację geometryczną.
Liczby algebraiczne Liczba algebraiczna, to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś wielomianu o wymiernych współczynnikach (np. 5-4x 4 +7x 3 +x/116-1 da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymierna p/q jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu qx - p.
Liczby przestępne Liczby zespolone nie będące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są π oraz e.
Liczby zespolone i kwaterniony
Niektóre języki programowania posiadają arytmetykę liczb zespolonych. W nowoczesnych językach zwykle jest to realizowane za pomocą odpowiednich klas, np. Complex ze standardowej biblioteki C++. Jedną z przyczyn dawnej popularności Fortrana był fakt, iż język ten jako pierwszy posiadał typ liczb zespolonych.
Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX, będąca sposobem na użycie tzw. współrzędnych jednorodnych do opisu punktów modelowanej przestrzeni trójwymiarowej (wierzchołków trójwymiarowej sceny) w grafice trójwymiarowej; podobne typy istnieją również w innych pakietach grafiki trójwymiarowej. |
|
